1. 결론
0.99999...는 1이다.
2. 3가지 오해
1) 0.999...는 계속 1에 다가가고 있는 수이다?
이것과 비슷한 예로 '0.999...는 1에 가까워지는 수이다' 가 있다. 이것은 수에 대한 완전히 잘못된 인식에서 비롯된 착각이다. '수'라는 것은 절대로 어떤 것에 다가간다던지 가까워진다던지 하는 그러한 개념이 없다. 예를 들어 5라는 수가 시간이 지나면 점점 6으로 변한다던지 4로 바뀐다던지 하는 말을 들어본적이나 있던가. 만약 5는 정수라서 다르다는 말을 한다면 같은 무한 소수인 π(파이)를 보자. π가 3.141592...에서 갑자기 3.1416으로 바뀐다거나 움직이는게 가능한 것인가? 아니면 자연상수 e(2.71828...) 이 갑자기 2.8로 바뀌는 것은 가능한가? √2, √3, √5, ... 모두 무한 소수인데 이러한 수들이 시간이 지나면 어디에 가까워지거나 움직이지 않는다. 하물며 0.999...는 순환소수로 유리수 범주에 들어가지만 이들은 비순환소수로 무리수에 범주에 들어가는 수들이다.
수라는 것은 절대로 움직이는 것이 아니다. 정수, 소수, 유리수, 무리수, 실수 더 확장시켜 사원수, 팔원수 등 그 어떤 수도 움직이지 않는다. 수는 수직선 위에 표현하면 하나의 점으로 나타날 뿐, 결코 움직이는 점이나 화살표로 나타내지 않는다. 만약 수가 스스로 움직인다는 황당한 개념이 허용된다면 현대 수의 체계는 송두리째 무너질 것이다.
2) 0.999...와 1은 0.000...1만큼의 차이가 있다?
이것은 무한에 대한 잘못된 이해에서 나타난 착각이다. 0.999...끝에 0.000...1을 더해야 1이 되지않는가라고 질문한다면 그러한 질문자체가 잘못된 것이다. 무한에는 끝이라는 것이 없다. 0.000...1이라고 말하는 순간 그것은 절대로 무한이 아니다. 만약 0.999...9라면 이 수는 언젠가 9로 끝나서 유한소수이다. 그러면 분명히 0.000...1만큼의 차이가 존재하겠지만 0.999...는 무한 소수이다. 이 둘은 엄연히 다른 개념이다.
1 - 0.999... = 0.000...이고 0.000...은 무한 소수이다. 0.000...은 무한 소수이기 때문에 0이 무한개인 것이다. 이 수의 끝에는 1이 절대로 나타날 수 없고 0이 무한개인 이 값은 0으로 쓸 수 있다.
1 - 0.999... = 0.000... = 0
3) 0.999...의 '극한값'이 1인 것이지 0.999...가 정확히 1은 아니다?
이것은 고등학교 수학을 잘못 배웠거나 잘못 이해한 것이다. 극한값에 대비되는 값으로 함숫값을 배우고 그것의 왼쪽값을 좌극한, 오른쪽값을 우극한이라고 배운다. 다만, 이것이 잘못된 것은 아니지만 잘못 이해할 수가 있다. 함숫값과 좌극한, 우극한 사이에는 '미묘한 차이'가 존재하는 것으로 받아드린다는 것이다. 결과적으로 말한다면 실제로 이 사이에는 간격이라는 것이 존재하지 않는다. 간혹 고등학교 수학선생님들 중에서 좌극한과 우극한을 왼쪽 혹은 오른쪽에서 점점 다가오거나 가까워지는 것이라고 설명하는 분들이 계신다. 그러나 이것은 학생들의 이해를 쉽게 하기위해서 그렇게 설명하시는 것이지 엄연히 따지면 절대로 가까워지거나 하는 것이 아니라 완전히 같은 것이다. 오히려 좌극한은 왼쪽에서 부딪힌 값, 우극한은 오른쪽에서 부딪힌 값이라고 하는 것이 더 분명하다.
극한에 대한 정확한 개념은 대학교에서 '엡실론-델타 논법'을 다뤄야한다. 이것은 쉽게 말하면 '어떠한 간격을 잡는다고하면 반드시 그것보다 더 작은 간격이 존재한다.'라는 것이다. 결론적으로 애초에 이 간격은 존재하지않는다는 것이 논지이다. 물론 대학생들 중에서도 이것을 잘못이해해서 아주 작은 간격이 존재한다고 이해하는 사람이 있다. 그렇게 된다면 모든 엡실론에 대해서 델타라는 것이 항상 존재할 수 없게된다. 'For every epsilon, there is delta.'라고 할 수 있는 것은 실제로 간격이 존재하지 않기 때문에 할 수 있는 논리인 것이다.
3. 증명
사실 이것은 증명이 필요한 문제가 아니다. 코시수열에서의 실수의 정의를 봤을 때 당연한 것이다. 그래도 해보자.
1) 등비수열
등비수열을 이용한 증명
2) 엡실론-델타 논법
엡실론-델타 논법을 이용한 증명
lemma.
1/(1+9)^n ≤ 1/(1+9n)을 수학적 귀납법을 통한 증명
결론적으로 어떠한 양의 값, 엡실론을 잡는다고 하더라고 항상 이 둘의 간격은 그보다 작다. 즉, 이 둘 사이에 간격은 존재할 수 없다.
3) 1/3 = 0.333...
만약 수학과 관련된 학문을 전공으로하지 않는 사람 혹은 초등학생이 이 문제에 대해서 물어본다면 이렇게 설명하자.
1/3 = 0.333...
2/3 = 0.666...
3/3 = 0.999... = 1
0.999...와 1 사이에 간격이 존재했다면 절대로 수학에서는 =(등호) 기호를 쓰지 않았을 것이다. 차라리 ≒ 이 기호를 썼을 지언정. 다시 말하지만 '정확하게 1인 것'이다.